整数は結構面白い

 整数の問題は中学入試の算数ではよく出題されます。高校入試では私立高校で時々難しい整数問題が出ることがありますが、公立高校では最大公約数、最小公倍数の比較的常識的な問題が出題されるくらいでしょうか。しかし、実は整数はいろいろな性質もあり、結構面白い問題も多いのです。今月は整数の性質に関する問題をすこしみていきましょう。


 4桁の数字を適当にひとつ作ります。たとえば、7815という数字。これを各桁の数字が大きい順にならべた数字から数字を小さい順に並べた数字を引きます。
 8751-1578=7173。これをくり返す。つぎは、7731-1377=6354。これも同じ操作をすると。6543-3456=3087。再度これを繰り返します。8730-0378=8352。また繰り返します。8532-2358=6174。
 この6174も同じ操作をすると。7641-1467=6174。「アレッ」そうなんです。6174はこの操作をすると6174になってしまいます。したがって、計算結果が、「6174」になったらここがゴールです。


 「へーそうですか」ですが、実は4桁のすべての数字は、この操作を繰り返して計算するとこの「6174」にゴールすることが分かっています。「ホントかいな」と思う人はやってみるといいですね。


 たとえば、3256。6532-2356=4176、並べ替えると6174。なんと1回でなってしまった。

他に、7000なら、7000-0007=6993。9963-3699=6264。6642-2466=4176。6174になりましたね。


 もちろん7777とか2222のように4桁全部が同じ数はダメですよ。差が0になってしまいますからね。


 しかし、不思議ですね。4桁の数字がすべて同じ数にゴールするというのは、整数は美しいです。この性質は20世紀インドの数学者D.R.カプレカーが発見しました。そのため、カプレカー数ともいいます。もちろん、6174にゴールする証明もされています。


 そうすると、他の桁ではどうなのかなと誰もが思います。数学ではこういう発想を一般化といいますが、興味が出てきますね。


 他に次のような問題。2桁の数字があります。たとえば、43。これを1の位と10の位の数字を逆にして34をつくります。そして2数の和を取る。43+34=77。左右対称になっていますね。例えば、67。67+76=143。143+341=484。これも左右対称になっています。他に59でやってみる。59+95=154。154+451=605。605+506=1111。やっぱり左右対称になってる。


 2桁の数はこの操作をして計算すると最後は必ず左右対象になるのかな。高校生ならパソコンのリテラシイーが少しあればプログラムを組んで試してみられそうですね。


 整数はこの他に素数の問題を含めすごく面白い性質がいろいろあります。ゲーム感覚で考えると結構楽しいです。

 

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